أعداد فيبوناتشي في الطبيعة

 لمى الأخرس

رائعة هي الطبيعة! مليئة بالنماذج الفريدة، الشديدة التنوع والاختلاف وعدم الانتظام. تبدو هذه الأبعاد غير المنتظمة والمتنوعة أكثر عشوائية من أن يقوم بينها أي رابط منطقي أو رياضي. لكن عالم الرياضيات إيان ستيوارت يرى أن الجمال في الطبيعة مرتبط بالأعداد، وأن شعورنا بجمال الطبيعة واستقبالنا له متصل بالرياضيات. هو ذا يقول:

كأن هنالك كتابَ نماذج كونيًّا، ذا نظام رياضيٍّ محدد، يولِّد النماذج في الكتاب كلَّها... وعلى الرغم من النماذج المختلفة كلِّها، فهنالك وحدة خفية... فلو درستَ رياضيات المنحنيات على جلد النمر أو حمار الوحش، وقارنتَها برياضيات أمواج المحيط، لوجدتَ أن هنالك وحدةً رياضيةً بين تلك الأشياء كلِّها...

إن موضوع الطبيعة والرياضيات أوسع بكثير من أن يحتويه مقال أو كتاب أو مجلد. وهذا المقال البسيط مجرد قطرة من بحر الجمال والترابط والوحدة.

مَن هو فيبوناتشي؟[1]

ولد فيبوناتشي، أو لورنزو الپيساني Lorenzo da Pisa، في مدينة پيسا الإيطالية ابنًا لتاجر پيساني. عمل ضابطًا للجمارك في شمال أفريقيا، ممَّا أتاح له المجال للترحال كثيرًا في الجزائر، ثم الذهاب في مهمَّات عمل في مصر وسوريا واليونان وصقلية والپروفانس.

لورنزو الپيساني، الملقَّب بـ"فيبوناتشي" (1170-1250).

في العام 1200، عاد فيبوناتشي إلى پيسا وعكف على وضع مؤلَّفه سِفْر الحساب Liber abacci، مستفيدًا من العلم الذي اكتسبه إبان ترحاله، فقدَّم من خلاله النظام العشري للعالم اللاتينيِّ اللغة.

كان فيبوناتشي قادرًا على القيام بعمليات حسابية فذة، حيث قام بحساب "النسبة الذهبية" Golden Section، التي رَمَزَ إليها بالحرف اليوناني Φ. وقد استخدم المعماريون الإغريق هذه النسبة أساسًا لبعض تصميمات أبنيتهم، التي من أشهرها معبد الپارثينون الأثيني، المكرَّس للإلهة أثينا البتول.

واجهة الپارثينون (القرن الخامس ق م).

أعداد فيبوناتشي المتسلسلة

لعل مردَّ شهرة هذا العالِم إلى تقديمه، في كتابه السابق ذكره، سلسلة من الأعداد البسيطة التي سُمِّيَتْ "أعداد فيبوناتشي" تكريمًا له. تبدأ السلسلة بالصفر، يليه العددان واحد واثنان؛ ثم يتم اشتقاق بقية أعداد السلسلة وفقًا للقاعدة البسيطة التالية: "اجمع آخر عددين لتحصل على العدد التالي":

1

2

3 = 2 + 1

5 = 3 + 2

8 = 5 + 3

13 = 8 + 5

21 = 13 + 8

34 = 21 + 13

55 = 34 + 21

89 = 55 + 34

144 = 89 + 55

233 = 144 + 89

377 = 233 + 144

610 = 377 + 233

987 = 610 + 377 إلخ.

أرانب فيبوناتشي!

قد يتساءل المرء: من أين جاءت هذه الأعداد؟

لقد شاعت التحديات والمسابقات الرياضية كثيرًا في أيام فيبوناتشي؛ ولطالما اشترك عالِمُنا فيها وفاق أقرانَه. إحداها كانت تقوم على الفرضية التالية: لو بدأنا بزوجين من الأرانب يولِّد كلَّ شهر زوجين جديدين، تتكاثر بدورها عندما يبلغ عمرها شهرًا، كم سيكون عدد مضاعفات زوجَي الأرانب بعد سنة؟ – وذلك على افتراض أن الأرانب لا تموت، وأنها تنجب كلَّ مرة ذكرًا وأنثى.

لقد كان حل هذه المسألة هو السبب في وجود أعداد فيبوناتشي[2].

أعداد فيبوناتشي في الطبيعة

الأمثلة عليها كثيرة. وما يلي منها نورِده على سبيل المثال لا الحصر.

الزنبقة البيضاء white lily: تتألف من بتلة واحدة.

زهرة الفَرْبَيون أو اليَتوع euphorbia: تتألف من بتلتين (هذا النوع من الزهور ليس شائعًا).

زهرة الإطْرِلِيون trillium: ثلاثية البتلات.

زهرة الأنقولية aquilegia/columbine (زهرة الحوض): هنالك المئات من فصائل الزهور الخماسية البتلات.

زهرة الدموية bloodroot (نبات أمريكي من الفصيلة الخشخاشية): هنالك عدد كبير نسبيًّا من فصائل الزهور ذات الثماني بتلات.

سوسنة سوداء العين: 13 بتلة.

زهرة اللؤلؤية الصغرى daisy (زهرة الربيع): 21 بتلة.

وتمثل هذه الفصيلة أعداد فيبوناتشي تمثيلاً ممتازًا، حيث نجد بتلاتها وفقًا للتسلسل التالي: 13، 21، 34، 55، أو 89 – وهي شائعة جدًّا.

في هذه الزهرة غالبًا ما نلاحظ أن البراعم الجديدة تنمو عند إبط النبات، أي عند الزاوية بين غصن (أو ورقة) وبين الساق التي انبثقت منها.

تُنبِتُ الساقُ الرئيسة أغصانًا برعمية عند بداية كلِّ مرحلة. وعدد الأغصان عند أية مرحلة من مراحل النمو يمثل أعداد فيبوناتشي. وليس هذا فحسب، بل إن عدد الأوراق في أية مرحلة هو من أعداد فيبوناتشي.

هذا النوع من النمو يتجلَّى أيضًا في نمو الأشجار البسيطة، حيث تستغرق كلُّ مرحلة من مراحل التطور سنة.

أما في مخروط الصنوبر وزهرة عباد الشمس ونتوءات فاكهة الأناناس فنجد أمرًا مختلفًا:

ففي مخروط الصنوبر، نجد ثمانية لوالب صاعدة في اتجاه عقارب الساعة.

بينما نجد ثلاثة عشر لولبًا أشد انحناءً، تصعد المخروط في عكس اتجاه عقارب الساعة.

تتخذ هذه الظاهرة شكلاً ذا بُعدين في بؤرة زهرة الربيع: فالعين ترى 21 لولبًا في عكس اتجاه عقارب الساعة و34 لولبًا في اتجاه عقارب الساعة.

هي دعوة إلى التأمل!

*** *** ***

المراجع

-          http://plus.maths.org/issue3/fibonacci/

-          http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/fibslide/jbfibslide.htm

-          http://www.bbc.co.uk/worldservice/sci_tech/features/figure_it_out/nature.shtml